Друга властивість паралельних прямих. Пряма лінія

17

Паралельність двох прямих можна довести на основі теореми, згідно з якою, два проведених перпендикуляра по відношенню до однієї прямої, будуть паралельні. Існують певні ознаки паралельності прямих — всього їх три, і всі їх ми розглянемо більш конкретно.

Перша ознака паралельності

Прямі паралельні, якщо при перетині їх третьої прямої, утворені внутрішні кути, що лежать навхрест, будуть рівні.

Припустимо, при перетині прямих ав і сd прямою лінією еf, були утворені кути /1 і /2. Вони рівні, так як пряма лінія еf проходить під одним ухилом по відношенню до двох інших прямим. У місцях перетину ліній, ставимо точки ки l – у нас вийшов відрізок січної еf. Знаходимо його середину і ставимо крапку о (чорт. 189).

На пряму ав опускаємо перпендикуляр з точки о.назвемо його ом. Продовжуємо перпендикуляр до тих пір, поки він не перетнеться з прямою сd. В результаті, первісна пряма ав строго перпендикулярна мn, а це значить, що і сd_|_мn, але це твердження вимагає докази. В результаті проведення перпендикуляра і лінії перетину, у нас утворилося два трикутника. Один з них-моє, другий-nок. Розглянемо їх більш детально. Ознаки паралельності прямих 7 клас

Дані трикутники рівні, оскільки, відповідно до умов теореми, /1 =/2, а відповідно до побудови трикутників, сторона ок = стороні оl. Кут моl = / nок, оскільки це вертикальні кути. З цього випливає, що сторона і два кути, прилеглі до неї одного з трикутників відповідно рівні стороні і двом кутах, прилеглим до неї, іншого з трикутників. Таким чином, трикутник моl =трикутнікуnок, а значить, і кут lмо = кутку кnо, але нам відомо, що/lмо прямий, значить, і відповідний йому, кут кnо теж прямий. Тобто, нам вдалося довести, що до прямої мn, як пряма ав, так і пряма сd перпендикулярні. Тобто, ав і сd по відношенню один до одного є паралельними. Це нам і було потрібно довести. Розглянемо інші ознаки паралельності прямих (7 клас), які відрізняються від першої ознаки за способом доведення.

Друга ознака паралельності

Згідно з другою ознакою паралельності прямих, нам необхідно довести, що кути, отримані в процесі перетину паралельних прямих ав і сd прямий еf, будуть рівні. Таким чином, ознаки паралельності двох прямих, як перший, так і другий, грунтується на рівності кутів, одержуваних при перетині їх третьою лінією. Допускаємо, що /3 = /2, а кут 1 = / 3, оскільки він вертикальний йому. Таким чином, і / 2 буде дорівнює углу1, однак слід враховувати, що як кут 1, так і кут 2 є внутрішніми, навхрест лежачими кутами. Отже, нам залишається застосувати свої знання, а саме те, що два відрізки будуть паралельними, якщо при їх перетині третьої прямої утворені, навхрест лежать кути будуть рівними. Таким чином, ми з’ясували, що ав / / сd.

Нам вдалося довести, що за умови паралельності двох перпендикулярів до однієї прямої, згідно з відповідною теоремою, ознака паралельності прямих очевидна.

Третя ознака паралельності

Існує ще й третя ознака паралельності, який доводиться за допомогою суми односторонніх внутрішніх кутів. Такий доказ ознаки паралельності прямих дозволяє зробити висновок, що дві прямі будуть паралельні, якщо при перетині їх третій прямий, сума отриманих односторонніх внутрішніх кутів, буде дорівнює 2d. Див. Малюнок 192.

Поняття паралельних прямих

Визначення 1

Паралельні прямі – прямі, які лежать в одній площині, не збігаються і не мають спільних точок.

Якщо у прямих є спільна точка, тоді вони перетинаються .

Якщо всі точки прямих збігаються , то маємо по суті одну пряму.

Якщо прямі лежать в різних площинах, то умов їх паралельності дещо більше.

При розгляді прямих на одній площині можна дати наступне визначення:

Визначення 2

Дві прямі на площині називають паралельними , якщо вони не перетинаються.

У математиці паралельні прямі прийнято позначати за допомогою знака паралельності « $\parallel$ ». Наприклад, той факт, що пряма $c$ паралельна прямій $d$ позначається наступним чином:

$c \ parallel d$.

Часто розглядається поняття паралельних відрізків.

Визначення 3

Два відрізки називають паралельними , якщо вони лежать на паралельних прямих.

Наприклад, на малюнку паралельними є відрізки $ab$ і $cd$, тому що вони належать паралельним прямим:

$ab \ parallel cd$.

Разом з тим, відрізки $mn$ і $ab$ або $мn$ і $cd$ паралельними не є. Цей факт можна записати за допомогою символів наступним чином:

$mn ∦ ab$ і $mn ∦ cd$.

Аналогічним чином визначається паралельність прямої і відрізка, прямої і променя, відрізка і променя або двох променів.

Історична довідка

З грецької мови поняття «паралелос» перекладається «поруч йде» або «проведений один біля одного». Цей термін використовувався в стародавній школі піфагора ще до того, як паралельні прямі отримали своє визначення. Згідно з історичними фактами евклідом в $ iii$ ст. До н. Е. В його працях все ж був розкритий сенс поняття паралельних прямих.

У давнину знак для позначення паралельних прямих мав відмінний вигляд того, що ми використовуємо в сучасній математиці. Наприклад, давньогрецьким математиком паппом в $ iii$ в. Н. Е. Паралельність позначалася за допомогою знака рівності. Тобто той факт, що пряма $l$ паралельна прямій $m$ раніше позначався «$l=m$». Пізніше для позначення паралельності прямих стали використовувати звичний нам знак » $ \ parallel$, а знак рівності стали використовувати для позначення рівності чисел і виразів.

Паралельні прямі в житті

Часто ми не помічаємо, що в звичайному житті нас оточує величезна кількість паралельних прямих. Наприклад, в нотному зошиті і збірнику пісень з нотами нотний стан виконаний за допомогою паралельних ліній. Також паралельні лінії зустрічаються і в музичних інструментах (наприклад, струни арфи, гітари, клавіші фортепіано і т.п.).

Електричні дроти, які розташовані вздовж вулиць і доріг, також проходять паралельно. Рейки ліній метро і залізниць розташовуються паралельно.

Крім побуту паралельні лінії можна зустріти в живописі, в архітектурі, при будівництві будівель.

Паралельні прямі в архітектурі

На представлених зображеннях архітектурні споруди містять паралельні прямі. Використання паралельності прямих в будівництві допомагає збільшити термін служби таких споруд і надає їм надзвичайну красу, привабливість і велич. Лінії електропередач також навмисне проводяться паралельно, щоб уникнути їх перетину або зіткнення, що призвело б до замикання, перебоїв і відсутності електрики. Щоб поїзд міг безперешкодно переміщатися рейки також виконані паралельними лініями.

У живописі паралельні лінії зображують зводяться в одну лінію або близькими до того. Такий прийом називається перспективою, яка випливає з ілюзії зору. Якщо довго дивитися вдалину, то паралельні прямі будуть схожі на дві сходяться лінії.

Ця стаття про паралельні прямі і про паралельність прямих. Спочатку дано визначення паралельних прямих на площині і в просторі, введені позначення, наведені приклади і графічні ілюстрації паралельних прямих. Далі розібрані ознаки та умови паралельності прямих. У висновку показані рішення характерних задач на доказ паралельності прямих, які задані деякими рівняннями прямої в прямокутній системі координат на площині і в тривимірному просторі.

Навігація по сторінці.

Паралельні прямі-основні відомості.

Визначення.

Дві прямі на площині називаються паралельними , якщо вони не мають спільних точок.

Визначення.

Дві прямі в тривимірному просторі називаються паралельними , якщо вони лежать в одній площині і не мають спільних точок.

Друга властивість паралельних прямих. Пряма лінія

Зверніть увагу, що застереження «якщо вони лежать в одній площині» у визначенні паралельних прямих в просторі дуже важлива. Пояснимо цей момент: дві прямі в тривимірному просторі, які не мають спільних точок і не лежать в одній площині не є паралельними, а є схрещуються.

Наведемо кілька прикладів паралельних прямих. Протилежні краї зошитового листа лежать на паралельних прямих. Прямі, за якими площина стіни будинку перетинає площини стелі і підлоги, є паралельними. Залізничні рейки на рівній місцевості також можна розглядати як паралельні прямі.

Для позначення паралельних прямих використовуютьСимвол «». Тобто, якщо прямі а і b паралельні, то можна коротко записати а b .

Зверніть увагу: якщо прямі a і b паралельні, то можна сказати, що пряма a паралельна прямій b, а також, що пряма b паралельна прямій a .

Озвучимо твердження, яке відіграє важливу роль при вивченні паралельних прямих на площині: через точку, що не лежить на даній прямій, проходить єдина пряма, паралельна даній. Це твердження приймається як факт (воно не може бути доведено на основі відомих аксіом планіметрії), і воно називається аксіомою паралельних прямих.

Для випадку в просторі справедлива теорема: через будь-яку точку простору, що не лежить на заданій прямій, проходить єдина пряма, паралельна даній. Ця теорема легко доводиться за допомогою наведеної вище аксіоми паралельних прямих (її доказ ви можете знайти в підручнику геометрії 10-11 клас, який вказаний в кінці статті в списку літератури).

Для випадку в просторі справедлива теорема: через будь-яку точку простору, що не лежить на заданій прямій, проходить єдина пряма, паралельна даній. Ця теорема легко доводиться за допомогою наведеної вище аксіоми паралельних прямих.

Паралельність прямих-ознаки та умови паралельності.

Ознакою паралельності прямих є достатня умова паралельності прямих, тобто, така умова, виконання якого гарантує паралельність прямих. Іншими словами, виконання цієї умови достатньо для того, щоб констатувати факт паралельності прямих.

Також існують необхідні і достатні умови паралельності прямих на площині і в тривимірному просторі.

Пояснимо сенс фрази «необхідна і достатня умова паралельності прямих».

З достатньою умовою паралельності прямих ми вже розібралися. А що ж таке «необхідна умова паралельності прямих»? за назвою «необхідне» зрозуміло, що виконання цієї умови необхідно для паралельності прямих. Іншими словами, якщо необхідна умова паралельності прямих не виконано, то прямі не паралельні. Таким чином, необхідна і достатня умова паралельності прямих — це умова, виконання якого як необхідно, так і достатньо для паралельності прямих. Тобто, з одного боку це ознака паралельності прямих, а з іншого боку – це властивість, яким володіють паралельні прямі.

Перш ніж сформулювати необхідну і достатню умову паралельності прямих, доцільно нагадати кілька допоміжних визначень.

Січна пряма – це пряма, яка перетинає кожну з двох заданих неспівпадаючих прямих.

При перетині двох прямих січної утворюються вісім нерозгорнутих . У формулюванні необхідного і достатнього умови паралельності прямих беруть участь так звані навхрест лежать, відповідні і односторонні кути . Покажемо їх на кресленні.

Друга властивість паралельних прямих. Пряма лінія

Теорема.

Якщо дві прямі на площині пересічені січної, то для їх паралельності необхідно і достатньо, щоб навхрест лежать кути були рівні, або відповідні кути були рівні, або сума односторонніх кутів дорівнювала 180 градусам.

Покажемо графічну ілюстрацію цього необхідного і достатнього умови паралельності прямих на площині.

Друга властивість паралельних прямих. Пряма лінія

Докази цих умов паралельності прямих ви можете знайти в підручниках геометрії за 7 -9 класи.

Зауважимо, що ці умови можна використовувати і в тривимірному просторі – головне, щоб дві прямі і січна лежали в одній площині.

Наведемо ще кілька теорем, які часто використовуються при доказі паралельності прямих.

Теорема.

Якщо дві прямі на площині паралельні третій прямій, то вони паралельні. Доказ цієї ознаки випливає з аксіоми паралельних прямих.

Існує аналогічна умова паралельності прямих в тривимірному просторі.

Теорема.

Якщо дві прямі в просторі паралельні третій прямій, то вони паралельні. Доказ цієї ознаки розглядається на уроках геометрії в 10 класі.

Проілюструємо озвучені теореми.

Друга властивість паралельних прямих. Пряма лінія

Наведемо ще одну теорему, що дозволяє доводити паралельність прямих на площині.

Теорема.

Якщо дві прямі на площині перпендикулярні до третьої прямої, то вони паралельні.

Існує аналогічна теорема для прямих у просторі.

Теорема.

Якщо дві прямі в тривимірному просторі перпендикулярні до однієї площини, то вони паралельні.

Зобразимо малюнки, відповідні цим теоремам.

Друга властивість паралельних прямих. Пряма лінія

Всі сформульовані вище теореми, ознаки і необхідні і достатні умови прекрасно підходять для доведення паралельності прямих методами геометрії. Тобто, щоб довести паралельність двох заданих прямих потрібно показати, що вони паралельні третій прямій, або показати рівність навхрест лежать кутів і т.п. Безліч подібних завдань вирішується на уроках геометрії в середній школі. Однак слід зазначити, що в багатьох випадках зручно користуватися методом координат для доведення паралельності прямих на площині або в тривимірному просторі. Сформулюємо необхідні і достатні умови паралельності прямих, які задані в прямокутній системі координат.

Паралельність прямих у прямокутній системі координат.

У цьому пункті статті ми сформулюємо необхідні і достатні умови паралельності прямих в прямокутній системі координат в залежності від виду рівнянь, що визначають ці прямі, а також наведемо докладні рішення характерних задач.

Почнемо з умови паралельності двох прямих на площині в прямокутній системі координат oxy . В основі його доказу лежить визначення направляючого вектора прямої і визначення нормального вектора прямої на площині.

Теорема.

Для паралельності двох розбіжних прямих на площині необхідно і достатньо, щоб напрямні вектори цих прямих були колінеарні, або нормальні вектори цих прямих були колінеарні, або направляючий вектор однієї прямої був перпендикулярний нормальному вектору другої прямої.

Очевидно, умова паралельності двох прямих на площині зводиться до (напрямних векторів прямих або нормальних векторів прямих) або до (направляючого вектора однієї прямої і нормального вектора другої прямої). Таким чином, якщо і-напрямні вектори прямих a і b, аДруга властивість паралельних прямих. Пряма лініяіДруга властивість паралельних прямих. Пряма лінія— нормальні вектори прямих a і b відповідно, то необхідна і достатня умова паралельності прямих а і b запишеться якДруга властивість паралельних прямих. Пряма лінія, абоДруга властивість паралельних прямих. Пряма лінія, або , де t — деяке дійсне число. У свою чергу координати напрямних і (або) нормальних векторів прямих a і b знаходяться за відомими рівняннями прямих.

Зокрема, якщо пряму a в прямокутній системі координат oxy на площині задає загальне рівняння прямої видуДруга властивість паралельних прямих. Пряма лінія, а пряму b —Друга властивість паралельних прямих. Пряма лінія, то нормальні вектори цих прямих мають координати і відповідно, а умова паралельності прямих a і b запишеться як .

Якщо прямий a відповідає рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом виду , а прямий b — , то нормальні вектори цих прямих мають координати і , а умова паралельності цих прямих набуде виглядуДруга властивість паралельних прямих. Пряма лінія. Отже, якщо прямі на площині в прямокутній системі координат паралельні і можуть бути задані рівняннями прямих з кутовими коефіцієнтами, то кутові коефіцієнти прямих будуть рівні. І назад: якщо розбіжності прямі на площині в прямокутній системі координат можуть бути задані рівняннями прямої з рівними кутовими коефіцієнтами, то такі прямі паралельні.

Якщо пряму a і пряму b в прямокутній системі координат визначають канонічні рівняння прямої на площині видуДруга властивість паралельних прямих. Пряма лініяіДруга властивість паралельних прямих. Пряма лінія, або параметричні рівняння прямої на площині видуДруга властивість паралельних прямих. Пряма лініяіДруга властивість паралельних прямих. Пряма лініявідповідно, то напрямні вектори цих прямих мають координати і , а умова паралельності прямих a і b записується як .

Розберемо рішення декількох прикладів.

Приклад.

Паралельні пряміДруга властивість паралельних прямих. Пряма лініяі ?

Рішення.

Перепишемо рівняння прямої у відрізках у вигляді загального рівняння прямої:Друга властивість паралельних прямих. Пряма лінія. Тепер видно , що-нормальний вектор прямийДруга властивість паралельних прямих. Пряма лінія, а — нормальний вектор прямий . Ці вектори не колінеарні, оскільки не існує такого дійсного числа t , для якого вірна рівність (Друга властивість паралельних прямих. Пряма лінія). Отже, не виконується необхідна і достатня умова паралельності прямих на площині, тому, задані прямі не паралельні.

Відповідь:

Ні, прямі не паралельні.

Приклад.

Чи є прямі і паралельні?

Рішення.

Наведемо канонічне рівняння прямої до рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:. Очевидно, що рівняння прямих і не однакові (в цьому випадку задані прямі були б співпадаючими) і кутовіКоефіцієнти прямих рівні, отже, вихідні прямі паралельні.

Інструкція

Перед початком доказу переконайтеся, що прямі лежать в одній площині і їх можна зобразити на ній. Найбільш простим способом доказу є метод вимірювання лінійкою. Для цього за допомогою лінійки виміряйте відстань між прямими в декількох місцях якнайдалі один від одного. Якщо відстань залишається незмінною, дані прямі паралельні. Але такий метод недостатньо точний, тому краще використовуйте інші способи.

Проведіть третю пряму, так, щоб вона перетинала обидві паралельні прямі. Вона утворює з ними чотири зовнішніх і чотири внутрішніх кута. Розгляньте внутрішні кути. Ті, які лежать через січну пряму називаються навхрестлежащімі. Ті, що лежать по одній стороні називаються односторонніми. За допомогою транспортира виміряйте два внутрішніх навхрестлежащіх кута. Якщо вони рівні між собою, то прямі будуть паралельними. Якщо залишилися сумніви, виміряйте односторонні внутрішні кути і складіть отримані значення. Прямі будуть паралельними, якщо сума односторонніх внутрішніх кутів буде дорівнює 180º.

Якщо немає транспортира, візьміть косинець з кутом 90º. З його допомогою побудуйте перпендикуляр до однієї з прямих. Після цього продовжите цей перпендикуляр таким чином, щоб він перетнув іншу пряму. За допомогою того ж кутника перевірте, під яким кутом цей перпендикуляр перетинає її. Якщо цей кут теж дорівнює 90º, то прямі паралельні між собою.

У тому випадку, якщо прямі задані в декартовій системі координат, знайдіть їх напрямні або нормальні вектори. Якщо ці вектори, відповідно, між собою колінеарні, то прямі паралельні. Приведіть рівняння прямих до загального вигляду і знайдіть координати нормального вектора кожної з прямих. Його координати рівні коефіцієнтам а і в.у тому випадку, якщо відношення відповідних координат нормальних векторів однаково, вони колінеарні, а прямі паралельні.

Наприклад, прямі задані рівняннями 4х-2у+1=0 і х/1=(у-4)/2. Перше рівняння-загального вигляду, друге-канонічного. Приведіть друге рівняння до загального вигляду. Використовуйте для цього правило перетворення пропорцій, в результаті отримаєте 2х=у-4. Після приведення до загального вигляду отримаєте 2х-у + 4=0. Оскільки рівняння загального вигляду для будь-якої прямої записується ах + ву + с=0, то для першої прямої: а=4, в=2, а для другої прямої а=2, в=1. Для першої прямої координати нормального вектора (4;2), а для другої – (2; 1). Знайдіть відношення відповідних координат нормальних векторів 4/2=2 і 2/1=2. Ці числа рівні, а значить вектора колінеарні. Оскільки вектори колінеарні, прямі паралельні.

паралельні прямі. Властивості та ознаки паралельних прямих

1. Аксіома паралельних. Через дану точку можна провести не більше однієї прямої, паралельної даної.

2. Якщо дві прямі паралельні однієї і тієї ж прямої, то вони паралельні між собою.

3. Дві прямі, перпендикулярні одній і тій же прямій, паралельні.

4. Якщо дві паралельні прямі перетнути третьої, то утворені при цьому внутрішні навхрест лежать кути рівні; відповідні кути рівні; внутрішні односторонні кути в сумі складають 180°.

5. Якщо при перетині двох прямих третьої утворюються рівні внутрішні навхрест лежать кути, то прямі паралельні.

6. Якщо при перетині двох прямих третьої утворюються рівні відповідні кути, то прямі паралельні.

7. Якщо при перетині двох прямих третьої сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, то прямі паралельні.

Теорема фалеса . Якщо на одній стороні кута відкласти рівні відрізки і через їх кінці провести паралельні прямі, що перетинають другу сторону кута, то на другій стороні кута відкладуться також рівні відрізки.

Теорема про пропорційні відрізки . Паралельні прямі, що перетинають сторони кута, висікають на них пропорційні відрізки.

Трикутник. Ознаки рівності трикутників .

1. Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника відповідно рівні двом сторонам і кутку між ними іншого трикутника, то трикутники рівні.

2. Якщо сторона і два прилеглих до неї кута одного трикутника відповідно рівні стороні і двом прилеглим до неї кутах іншого трикутника, то трикутники рівні.

3. Якщо три сторони одного трикутника відповідно рівні трьом сторонам іншого трикутника, то трикутники рівні.

Ознаки рівності прямокутних трикутників

1. За двома катетам.

2. По катету і гіпотенузі.

3. За гіпотенузі і гострому кутку.

4. По катету і гострому кутку.

Теорема про суму кутів трикутника і наслідки з неї

1. Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180°.

2. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх не суміжних з ним кутів.

3. Сума внутрішніх кутів опуклого n-кутника дорівнює

4. Сума зовнішніх кутів га-кутника дорівнює 360°.

5. Кути з взаємно перпендикулярними сторонами рівні, якщо вони обидва гострі або обидва тупі.

6. Кут між бісектрисами суміжних кутів дорівнює 90°.

7. Бісектриси внутрішніх односторонніх кутів при паралельних прямих і січної перпендикулярні.

Основні властивості та ознаки рівнобедреного трикутника

1. Кути при підставі рівнобедреного трикутника рівні.

2. Якщо два кути трикутника рівні, то він рівнобедрений.

3. У рівнобедреному трикутнику медіана, бісектриса і висота, проведені до основи, збігаються.

4. Якщо в трикутнику збігається будь-яка пара відрізків з трійки-медіана, бісектриса, висота, то він є рівнобедреним.

Нерівність трикутника і наслідки з нього

1. Сума двох сторін трикутника більше його третьої сторони.

2. Сума ланок ламаної більше відрізка, що з’єднує початок

Першої ланки з кінцем останнього.

3. Проти більшого кута трикутника лежить велика сторона.

4. Проти більшої сторони трикутника лежить більший кут.

5. Гіпотенуза прямокутного трикутника більше катета.

6. Якщо з однієї точки проведені до прямої перпендикуляр і похилі, то

1) перпендикуляр коротше похилих;

2) більшою похилій відповідає велика проекція і навпаки.

Середня лінія трикутника.

Відрізок, що з’єднує середини двох сторін трикутника, називається середньою лінією трикутника.

Теорема про середню лінію трикутника .

Середня лінія трикутника паралельна стороні трикутника і дорівнює її половині.

Теореми про медіани трикутника

1. Медіани трикутника перетинаються в одній точці і діляться нею щодо 2: 1, рахуючи від вершини.

2. Якщо медіана трикутника дорівнює половині сторони, до якої вона проведена, то трикутник прямокутний.

3. Медіана прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, дорівнює половині гіпотенузи.

Властивість серединних перпендикулярів до сторін трикутника . Серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються в одній точці, яка є центром кола, описаної близько трикутника.

Теорема про висоти трикутника . Прямі, що містять висоти трикутника, перетинаються в одній точці.

Теорема про бісектриси трикутника . Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, яка є центром кола, вписаної в трикутник.

Властивість бісектриси трикутника . Бісектриса трикутника ділить його сторону на відрізки, пропорційні двом іншим сторонам.

Ознаки подібності трикутників

1. Якщо два кути одного трикутника відповідно рівні двом кутам іншого, то трикутники подібні.

2. Якщо дві сторони одного трикутника відповідно пропорційні двом сторонам іншого, а кути, укладені між цими сторонами, рівні, то трикутники подібні.

3. Якщо три сторони одного трикутника відповідно пропорційні трьом сторонам іншого, то трикутники подібні.

Площі подібних трикутників

1. Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.

2. Якщо два трикутника мають рівні кути, то їх площі відносяться як твори сторін, що укладають ці кути.

У прямокутному трикутнику

1. Катет прямокутного трикутника дорівнює добутку гіпотенузи на синус протилежного або на косинус прилеглого до цього катету гострого кута.

2. Катет прямокутного трикутника дорівнює іншому катету, помноженому на тангенс протилежного або на котангенс прилеглого до цього катету гострого кута.

3. Катет прямокутного трикутника, що лежить проти кута в 30°, дорівнює половині гіпотенузи.

4. Якщо катет прямокутногоТрикутника дорівнює половині гіпотенузи, то кут, протилежний цьому катету, дорівнює 30°.

5. R =; г =, де а, b-катети, а с — гіпотенуза прямокутного трикутника; г і r — радіуси вписаної і описаної окружності відповідно.

Теорема піфагора і теорема, зворотна теоремі піфагора

1. Квадрат гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів катетів.

2. Якщо квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін, то трикутник — прямокутний.

Середні пропорційні в прямокутному трикутнику.

Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є середнє пропорційне проекцій катетів на гіпотенузу, а кожен катет є середнє пропорційне гіпотенузи і своєї проекції на гіпотенузу.

Метричні співвідношення в трикутнику

1. Теорема косинусів. Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.

2. Наслідок з теореми косинусів. Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів всіх його сторін.

3. Формула для медіани трикутника. Якщо m-медіана трикутника, проведена до сторони с, то m =Друга властивість паралельних прямих. Пряма лінія, де а і b — інші сторони трикутника.

4. Теорема синусів. Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів.

5. Узагальнена теорема синусів. Відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута дорівнює діаметру кола, описаної близько трикутника.

Формули площі трикутника

1. Площа трикутника дорівнює половині твори підстави на висоту.

2. Площа трикутника дорівнює половині твори двох його сторін на синус кута між ними.

3. Площа трикутника дорівнює добутку його напівпериметра на радіус вписаного кола.

4. Площа трикутника дорівнює добутку трьох його сторін, поділеному на учетверенний радіус описаного кола.

5. Формула герона: s=, де p — напівпериметр; а, b, з — боку трикутника.

Елементи рівностороннього трикутника . Нехай h, s, r, r-висота, площа, радіуси вписаної і описаної кіл рівностороннього трикутника зі стороною а. Тоді
Чотирикутники

Паралелограм. Паралелограмом називається чотирикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні.

Властивості та ознаки паралелограма .

1. Діагональ розбиває паралелограм на два рівних трикутника.

2. Протилежні сторони паралелограма попарно рівні.

3. Протилежні кути паралелограма попарно рівні.

4. Діагоналі паралелограма перетинаються і діляться точкою перетину навпіл.

5. Якщо протилежні сторони чотирикутника попарно рівні,то цей чотирикутник-паралелограм.

6. Якщо дві протилежні сторони чотирикутника рівні і паралельні,то цей чотирикутник-паралелограм.

7. Якщо діагоналі чотирикутника діляться точкою перетину навпіл,то цей чотирикутник-паралелограм.

Властивість середин сторін чотирикутника . Середини сторін будь-якого чотирикутника є вершинами паралелограма, площа якого дорівнює половині площі чотирикутника.

Прямокутник. прямокутником називається паралелограм з прямим кутом.

Властивості та ознаки прямокутника.

1. Діагоналі прямокутника рівні.

2. Якщо діагоналі паралелограма рівні, то цей паралелограм-прямокутник.

Квадрат. квадратом називається прямокутник, всі сторони якого рівні.

Ромб. ромбом називається чотирикутник, всі сторони якого рівні.

Властивості і ознаки ромба.

1. Діагоналі ромба перпендикулярні.

2. Діагоналі ромба ділять його кути навпіл.

3. Якщо діагоналі паралелограма перпендикулярні, то цей паралелограм-ромб.

4. Якщо діагоналі паралелограма ділять його кути навпіл, то цей паралелограм — ромб.

Трапеція. трапецією називається чотирикутник, у якого тільки дві протилежні сторони (підстави) паралельні. Середньою лінією трапеції називається відрізок, що з’єднує середини непаралельних сторін (бічних сторін).

1. Середня лінія трапеції паралельна підставам і дорівнює їх напівсумі.

2. Відрізок, що з’єднує середини діагоналей трапеції, дорівнює напівразності підстав.

Чудова властивість трапеції . Точка перетину діагоналей трапеції, точка перетину продовжень бічних сторін і середини підстав лежать на одній прямій.

Рівнобедрена трапеція . Трапеція називається рівнобедреною, якщо її бічні сторони рівні.

Властивості та ознаки рівнобедреної трапеції.

1. Кути при підставі рівнобедреної трапеції рівні.

2. Діагоналі рівнобедреної трапеції рівні.

3. Якщо кути при підставі трапеції рівні, то вона рівнобедрена.

4. Якщо діагоналі трапеції рівні, то вона рівнобедрена.

5. Проекція бічної сторони рівнобедреної трапеції на підставу дорівнює напівразності підстав, а проекція діагоналі — напівсумі підстав.

Формули площі чотирикутника

1. Площа паралелограма дорівнює добутку підстави на висоту.

2. Площа паралелограма дорівнює добутку його сусідніх сторін на синус кута між ними.

3. Площа прямокутника дорівнює добутку двох його сусідніх сторін.

4. Площа ромба дорівнює половині твори його діагоналей.

5. Площа трапеції дорівнює добутку напівсуми підстав на висоту.

6. Площа чотирикутника дорівнює половині твори його діагоналей на синус кута між ними.

7. Формула герона для чотирикутника, біля якого можна описати коло:

S =, де а, b, с, d — сторони цього чотирикутника, p — напівпериметр, а s — площа.

Подібні фігури

1. Відношення відповідних лінійних елементів подібних фігур дорівнює коефіцієнту подібності.

2. Відношення площ подібних фігур дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.

Правильний багатокутник .

Нехай а n — сторона правильного n-кутника, а г n і r n — радіуси вписаної і описаної кіл. Тоді

Коло.

Окружністю називається геометричне місце точок площини, віддалених від даної точки, званої центром кола, на одне і те ж позитивне відстань.

Основні властивості кола

1. Діаметр, перпендикулярний хорді, ділить хорду і стягуються нею дуги навпіл.

2. Діаметр, що проходить через середину хорди, що не є діаметром, перпендикулярний цій хорді.

3. Серединний перпендикуляр до хорди проходить через центр кола.

4. Рівні хорди віддалені від центру кола на рівні відстані.

5. Хорди кола, віддалені від центру на рівні відстані, рівні.

6. Окружність симетрична щодо будь-якого свого діаметра.

7. Дуги кола, укладені між паралельними хордами, рівні.

8. З двох хорд більше та, яка менш віддалена від центру.

9. Діаметр є найбільша хорда окружності.

Дотична до кола . Пряма, що має з окружністю єдину спільну точку, називається дотичній до кола.

1. Дотична перпендикулярна радіусу, проведеному в точку дотику.

2. Якщо пряма а, що проходить через точку на окружності, перпендикулярна радіусу, проведеному в цю точку, то пряма а — дотична до кола.

3. Якщо прямі, що проходять через точку м, стосуються кола в точках а і в, то ma = mb і ﮮамо = ﮮвмо, де точка о — центр кола.

4. Центр кола, вписаної в кут, лежить на бісектрисі цього кута.

Стосуються кола . Кажуть, що два кола торкаються, якщо вони мають єдину спільну точку (точку дотику).

1. Точка дотику двох кіл лежить на їх лінії центрів.

2. Кола радіусів г і r з центрами о 1 і о 2 стосуються зовнішнім чином тоді і тільки тоді, коли r + г = o 1 o 2 .

3. Кола радіусів г і r (г

4. Кола з центрами о 1 і o 2 стосуються зовнішнім чином в точці к. Деяка пряма стосується цих кіл в різних точках а і в і перетинається із загальною дотичною, що проходить через точку к, в точці с.тоді ﮮак в = 90° і ﮮо 1 со 2 = 90°.

5. Відрізок загальної зовнішньої дотичної до двох стосуються кіл радіусів г і r дорівнює відрізку загальної внутрішньої дотичної, укладеному між загальними зовнішніми. Обидва ці відрізки рівні .

Кути, пов’язані з колом

1. Величина дуги кола дорівнює величині центрального кута, на неї спирається.

2. Вписаний кут дорівнює половині кутової величини дуги, на яку він спирається.

3. УписанийКути, що спираються на одну і ту ж дугу, рівні.

4. Кут між пересічними хордами дорівнює напівсумі протилежних дуг, висікаються хордами.

5. Кут між двома січними, що перетинаються поза колом, дорівнює напівразності дуг, висікаються січними на окружності.

6. Кут між дотичною і хордою, проведеної з точки дотику, дорівнює половині кутової величини дуги, висікається на окружності цієї хордою.

Властивості хорд кола

1. Лінія центрів двох пересічних кіл перпендикулярна їх загальної хорді.

2. Твори довжин відрізків хорд ав і cd кола, що перетинаються в точці е, рівні, тобто ае ев = се ed.

Вписані і описані кола

1. Центри вписаної і описаної кіл правильного трикутника збігаються.

2. Центр кола, описаної близько прямокутного трикутника, — середина гіпотенузи.

3. Якщо в чотирикутник можна вписати коло, то суми його протилежних сторін рівні.

4. Якщо чотирикутник можна вписати в коло, то сума його протилежних кутів дорівнює 180°.

5. Якщо сума протилежних кутів чотирикутника дорівнює 180°, то біля нього можна описати коло.

6. Якщо в трапецію можна вписати коло, то бічна сторона трапеції видно з центру кола під прямим кутом.

7. Якщо в трапецію можна вписати коло, то радіус кола є середнє пропорційне відрізків, на які точка торкання ділить бічну сторону.

8. Якщо в багатокутник можна вписати коло, то його площа дорівнює добутку напівпериметра багатокутника на радіус цього кола.

Теорема про дотичну і січну і наслідок з неї

1. Якщо з однієї точки до кола дотична і січна, то твір всієї січної на її зовнішню частину дорівнює квадрату дотичній.

2. Твір всієї січної на її зовнішню частину для даної точки і даної окружності постійно.

Довжина кола радіуса r дорівнює c= 2πr